このページでは，記号表記は尾崎・川端・山田編『Rで学ぶマルチレベルモデル〔入門編〕』（朝倉書店）を参考としつつ多少変更する。 \[\begin{align*} y_{ij} =& \color{green}{\beta_{0j}}+\color{red}{r_{ij}} \\ &\color{green}{\beta_{0j}} = \color{blue}{\gamma_{00}}+\color{red}{u_{0j}} \\ y_{ij} =& \color{blue}{\gamma_{00}}+\color{red}{u_{0j}}+\color{red}{r_{ij}} \\ &\color{red}{u_{0j}} \sim\;N(0,\tau_{00})\\ &\color{red}{r_{ij}} \sim\;N(0,\sigma^2)\\ ICC &=\frac{\tau_{00}}{\tau_{00}+\sigma^2}\\ \end{align*}\]
独立変数は既に集団平均でセンタリングしてあるとすると， \[\begin{align*} y_{ij} =& \color{green}{\beta_{0j}}+\color{green}{\beta_{1j}}x_{ij}+\color{red}{r_{ij}} \\ &\color{green}{\beta_{0j}} = \color{blue}{\gamma_{00}}+\color{red}{u_{0j}} \\ &\color{green}{\beta_{ij}} = \color{blue}{\gamma_{10}}+\color{red}{u_{1j}} \\ y_{ij} =& (\color{blue}{\gamma_{00}}+\color{red}{u_{0j}})+(\color{blue}{\gamma_{10}}+\color{red}{u_{1j}})x_{ij}+\color{red}{\epsilon_{ij}} \\ =& \color{blue}{\gamma_{00}}+\color{blue}{\gamma_{10}}x_{ij}+\color{red}{u_{1j}}x_{ij}+\color{red}{u_{0j}}+\color{red}{\epsilon_{ij}}\\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \color{red}{r_{ij}} &\sim\;N(0,\sigma^2)\\ \left( \begin{array}{c} \color{red}{u_{0j}} \\ \color{red}{u_{1j}} \\ \end{array} \right) &\sim\;N\left(0, \left[ \begin{array}{cc} \tau_{00} & \tau_{01}\\ \tau_{10} & \tau_{11}\\ \end{array} \right] \right) \end{align*}\]
切片が，属する集団\(j\)の特性\(w_{j}\)によって変化するとし，
更に傾きも\(w_{j}\)によって変化すると考えると，
\[\begin{align*} y_{ij} =& \color{green}{\beta_{0j}}+\color{green}{\beta_{1j}}x_{ij}+\color{red}{r_{ij}} \\ &\color{green}{\beta_{0j}} = \color{blue}{\gamma_{00}}+\color{blue}{\gamma_{01}}w_{j}+\color{red}{u_{0j}} \\ &\color{green}{\beta_{ij}} = \color{blue}{\gamma_{10}}+\color{blue}{\gamma_{11}}w_{j}+\color{red}{u_{1j}} \\ y_{ij} =& (\color{blue}{\gamma_{00}}+\color{blue}{\gamma_{01}}w_{j}+\color{red}{u_{0j}})+(\color{blue}{\gamma_{10}}+\color{blue}{\gamma_{11}}w_{j}+\color{red}{u_{1j}})x_{ij}+\color{red}{\epsilon_{ij}} \\ =& \color{blue}{\gamma_{00}}+\color{blue}{\gamma_{10}}x_{ij}+\color{blue}{\gamma_{01}}w_{j}+\color{blue}{\gamma_{11}}w_{j}x_{ij}+\color{red}{u_{1j}}x_{ij}+\color{red}{u_{0j}}+\color{red}{\epsilon_{ij}}\\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \color{red}{r_{ij}} &\sim\;N(0,\sigma^2)\\ \left( \begin{array}{c} \color{red}{u_{0j}} \\ \color{red}{u_{1j}} \\ \end{array} \right) &\sim\;N\left(0, \left[ \begin{array}{cc} \tau_{00} & \tau_{01}\\ \tau_{10} & \tau_{11}\\ \end{array} \right] \right) \end{align*}\]
モデルを作る時はまずは最初の展開前の式を考えて，統計ソフトで指定する際に展開後の式を与える。